# 1. 为什么样本方差(sample variance)的分母是n-1？
# 1.1. 完整的问题描述
如果已知随机变量X的期望为μ，那么可以如下计算方差σ^2：
上面的式子需要知道X的具体分布是什么（在现实应用中往往不知道准确分布），计算起来也比较复杂。
所以实践中常常采样之后，用下面这个S^2 来近似 σ^2：
其实现实中，往往连X的期望μ也不清楚，只知道样本的均值：
那么可以这么来计算S^2：
那么问题来了，为什么用样本均值X'代替总体均值μ后，分母变成了n-1？
# 1.2. 为什么分母是n-1？
# 1.2.1. 定性理解
我们不知道μ是多少的，只能计算出X'。不同的采样对应不同的X'：
对于某次采样而言，当μ=X'时，下式取得最小值：
我们也是比较容易从图像中观察出这一点，只要μ偏离X'，该值就会增大。
所以可知：
可推出：
进而推出：
可见，如果分母是n，倾向于低估σ^2。
# 1.2.2. 定量分析
其中：
所以：
其中：
所以：
也就是说，低估了σ^2/n，进行一下调整：
因此使用下面这个式子进行估计，得到的就是无偏估计：
