# 1. 行列式与克拉默法则
# 前言
- 定义行列式的目的是什么？
- 定义行列式的思路是什么？
- 行列式的具体定义是什么？
历史上，定义行列式的目的就是为了 解线性方程组。
定义行列式的思路：想解方程组 => 构造行列式 => 证明行列式可解方程组 => 构造成功
# 1.1. 全排列
把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）。
比如1,2,3=>(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3,),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)
# 1.2. 逆序数
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
比如3,1,4,5,2的你逆序数为0+1+0+0+3=4
# 1.3. 奇排列、偶排列
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
一个排列中任意的两个元素对换，排列改变奇偶性。
# 1.4. 行列式定义：
比如三阶行列式：
脚标第一项都是按照“1,2,3”排列的，而脚标的第二项是“1,2,3”的全排列，正负号怎么来的呢？是由逆序数决定的。
举例：计算5阶行列式因子a52a33a41a14a25的正负号
先把脚标的第一项按顺序排列，得到：a14a25a33a41a52，其逆序数为0+0+2+3+3 = 8，所以为正。
# 1.5. DT=D
行列式DT称为行列式D的转置行列式。
# 1.6. 克拉默法则
观察三元一次方程组的解：
可以看到如下规律：
- 分母都是系数组成的行列式
- 分子也是系数组成的行列式，只是对应于不同的xi，第i列被替换为了常数项
克拉默法则定义：
# 1.7. 为何线性代数的「determinant」被翻译成「行列式」？
行列式的本质，就是矩阵所描绘的线性变换前后，任何一个“体积”缩放的比例。 线性变换对空间的影响可以分为两大类。 一种情况是，行列式的值不为0，这说明变换过后，维数不变，只是“体积”变大或变小； 另一种情况是，行列式的值为0，就说明“体积”变成了0，实际上就是发生了降维，如立体空间变成了平面（降了一维），平面变成了点（降了两维）。（降的维数就是阶数减秩 n–rank。） 因此，行列式的值就是一个很重要、很值得关注的问题，它决定了“体积”被拉伸了还是压缩，拉伸或压缩了多大，或者有没有“被拍扁”而直接变成0。所以，叫它“determinant”（决定因素）毫不过分。
# 1.8. 线性变换的特点
- 变换前是直线的，变换后依然是直线
- 直线比例保持不变
- 变换前是原点的，变换后依然是原点
- 比如旋转、扭曲
# 1.9. 行列式是线性变换的伸缩因子
- 行列式 > 1，对图形有放大作用
- 0 < 行列式 < 1，对图形有缩小作用
- 行列式 = 1，线性变换不可逆
- 行列式 < 0，改变了基的相对左右顺序。