Coding-everyday

# 1. 足球有几个面？

一、足球 12个正五边形 20个正六边形

面（F）12 + 20 = 32 棱（E）(12 * 5 + 20 * 6) / 2= 90 每个棱被两个图形共用 顶（V）(12 * 5 + 20 * 6) / 3= 60 每个顶点被三个图形共用

规律：F + V - E = 2（欧拉提示性定理）

二、多面体 柏拉图提出五种正多面体： 正四面体、正六面体、正八面体(八个三角形)、正十二面体、正二十面体

柯西证明了所有正多面体都满足F + V - E = 2

过程(以正六边形为例)：

  • 先擦掉一个面，然后展开： F - 1 => k -1 (k是F - V + E)
  • 每个面对角线连起来，使每个图形变成三角形，此时E+1, F+1 => k不变
  • 擦边(最外边的边)：此时E-1, F-1 => k不变
  • 擦角(从外到内逐步去擦，每擦一个角，边减去2，面减去1)：此时V-1, F-1, E-2 =>k不变

一直擦下去的话，会剩下一个三角形(F=1, E=3, V=3, F+V-E = 2, 再加上之前去掉的1个面，即为2)

三次数学危机 第一次数学危机：腰为1的等腰直角三角形的斜边 √2 无法用最简整数比表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的理论，以前都是相信万物皆可以用整数表示，比如2/3

危机二，微积分的合理性遭到严重质疑，无穷小是否是0。

危机三，罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。

理发师悖论：“理发师说，我给且仅给自己不刮胡子的人刮胡子，那么理发师给不给自己刮胡子“

# 2. 费马大定理

费马：法国律师、业余数学家 一、猜想 n为正整数，2^(2^n) + 1是质数 当n=1、2、3、4是，为质数 当n >= 5时是否全非质数

二、费马大定理 n为正整数，x^n + y^n = z^n, 当n > 2时，无整数解 无数数学家先后声称自己证明了，都证明是错的。 怀尔斯 1995年 最后证明了 获得了沃尔夫奖

# 3. 墒增加理论

自然界的发展方向是墒增大的，由有序到无序，人类社会应也是如此，比如支持同性恋、专制到民主等

墒增加理论：孤立系统中，墒不减少

# 4. 教授逃避罚单

匀速的话，在中间角速度最大，比如火车来的时候，到身前的时候才觉得特别快。

  • 如果在中间减速到0，再加速的话，角速度也会变成0。
  • 加速度越大，角速度曲线越陡，从而在中间点(0)位置时间很短。
  • 如果存在遮挡，就可以以此逃避罚单（规定中间必须停车）。

# 5. 武侠中的左脚踩右脚

一、武侠 1.内力：系统内物体间的作用力 2.外力：系统外物体对系统内物体的力 3.内力不能改变系统运动状态

例：人站在静止的车上，拿锤子敲击车，车会走吗？ 不会，只会来回晃悠，因为施力物体和受力物体都在系统内。

4.反冲，比如火箭。 人在船上，但没有桨，通过往后扔石头，使船获得向前的反冲力。

二、轻功 1.摩擦力 条件： 粗糙、挤压、相对运动或相对运动的趋势

2.方向：与相对运动或相对运动趋势反向

自行车：后轮摩擦力向前，前轮摩擦力向后

  • 如果地面光滑，后轮有向后运动趋势，所以摩擦力向前

  • 如果地面光滑，前轮根本不转，往前蹭，所以有向前运动趋势，所以摩擦力向后

  • 人走路的时候，脚相对于地面有向后运动趋势，所以摩擦力向前，摩擦力做动力（类似于自行车后轮）

踩天梯，方向不应该是直上直下的，而是斜上方。

# 6. 黄金比例：

黄金分割的一般定义是这样的：有一个线段，在线段上找一个点，将线段分割为A和B两部分。较短的部分（A）与较长的部分（B）的长度之比等于较长的部分（B）与全长（A+B）的比，那么这个点就称为黄金分割点，而这个比例就称为黄金分割。

也即是 (1-x)/x = x/1

  • 照片的宽和高的比例如果是黄金比例，这张照片也会显得尺寸美观。这种尺寸的矩形称为黄金矩形。

  • 黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停地分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形。

  • 而且，如果我们把这些个正方形的对角线用平滑曲线连接起来，就形成了一个螺旋，这个螺旋称为“黄金螺旋”。黄金螺旋在自然界普遍存在。比如鹦鹉螺的曲线就是黄金螺旋。

( √(5-1)/2约0.618

  • 头顶到肚脐 / 肚脐到脚底
  • 头顶到咽喉 / 咽喉到肚脐

# 7. 飞机什么时候最危险？

一、撞鸟 动量 = 质量 * 速度 受力 = 动量变化 / 时间，F = mv / t

飞机撞鸟一瞬间，速度很大，时间很短，产生力约20万牛，即20吨物体重力

二、气流 寄安全带，因为飞机下降速度可能比人快，不寄的话会撞到天花板

飞机出事概率小，“去机场的路上”最不安全

# 8. 欧拉公式

0是自然数 一、数系 不断扩展的过程 1.自然数N 3-2封闭 2-3不封闭 2.整数Z 4/2封闭 2/3不封闭 3.有理数Q x = p/q. 但根号2不封闭 4.实数R 数轴表示 但x^2 = -1?

二、复数 1.虚数 i^2 = -1 2.复数 a+bi
由实数的一维扩展到复数的二维平面(横坐标实轴，单位为1，纵坐标虚轴，单位为i) 3.欧拉公式 cosθ + i*sinθ = e^(iθ) 可用泰勒级数展开证明 当θ = π时， e^(iπ) + 1 = 0, 即欧拉恒等式，称为上帝公式，包含了最美的5个数

  • 当n趋于正无穷大时，(1+1/n)^n = e
  • 那么，当n趋于正无穷大时，(1+i/n)^n = e^i，就是1弧度，旋转θ 度，就是cosθ + i*sinθ

# 9. 公理化思想

公理化思想就是任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果。（核心是推导）

戴德金基本定理：实数域的完备性（连续性）。 它的叙述为对于实数域内的任一戴德金分割A|A’必有产生这分划的实数β存在。这数β或是下组A内的最大数，或是上组A’内的最小数

戴德金分割： 若将实数集R分为两个子集 左集S、右集T： 1.S、T都不为空 2.S∪T = R, S∩T = Ø 3.且S中的每个数都小于T的任意一个数

对于有理数来讲： 有三种可能： 1.S中有最大，T中无最小 2.S中无最大，T中有最小 3.S中无最大，T中无最小（一个x<0且x^2<1, 即x< √2， 一个x>0且x^2>1, 即x> √2）

不可能S中有最大，T中也有最小（两个点重合，不满足第三条）

根据第三种可能，所以有理数不完备 而实数没有第三种可能，所有实数完备（在实数轴上切一刀，一定会切出实数）

0.99999…(无限个9) = 1

# 10. 原子弹和氢弹

原子弹

  • 中子 + 铀235 = > Ba + kr + 三个中子
  • 链式反应
  • 把一个圆分成三份，中间的一份等炸药引爆后会被推进去，从而打到反应的临界体积。

氢弹

  • 氘核 + 氚核 => 氦核 + 中子
  • 不是链式反应
  • 需要氘和氚离得特别近，也就是速度特别大，温度特别高，需要用原子弹爆炸时的温度
  • 两圈，外圈是氘和氚，里面是小块的铀235，填充炸药，引爆炸药，U235向内聚集，爆炸

# 11. 什么能源可以取之不尽？托卡马克

正电荷和电子分开，这种分子称为等离子体 一、能源 1.化石：煤、石油、天然气 缺点：有限、污染 2.清洁能源：风能、太阳能、潮汐 缺点：造价高、能力有限 3.核聚变 缺点：有限、泄漏、废料

二、核聚变 1.效率更高 裂变：1g的铀235 => 1.8吨油 聚变：1g的氢 => 8吨油

2.原料丰富 大海 1L水 => 33mg => 300升油

3.安全清洁 条件苛刻 、放射性弱

三、托卡马克 1.困难 高温、高压、高密度 时间长 2.1950年 苏联 环形真空磁线圈 3.1989年 H-7 400万元 4.EAST 人造太阳

1⃣️极高的温度下，分子变成等离子体。微波加热， 10^7瓦，1亿开尔文 2⃣️强磁场束缚 等离子体在环形空间移动，由于环形电流可以产生磁场，很多竖着的环形电流会产生很多的横着的环形磁场。电流要非常大，才能使磁场非常大。为防止烧掉，使用超导材料。 3⃣️束缚 在磁场作用下，运动电荷产生洛伦兹力。 如果电荷平行于磁场方向，会做匀速直线运动， 如果电荷垂直磁场方向，就会垂直磁场方向做匀速圆周运动； 如果存在夹角，假设磁场方向向右，可以分解成向右和向上的两个力，向上的速度会匀速圆周运动，向右的速度会匀速直线运动，一叠加就是类似于弹簧的螺旋的向前的运动。

商业化前提是消耗的电 小于 产生的核能

# 12. 傅里叶变换

一、傅立叶级数：周期性函数f(t) = 正(余)弦组合

傅立叶变换后由时间域转为三种信息： 频率、不同频率下的振幅、不同频率下的相位

转换后的图像是离散的

f(t) = 1 * sin(nwt) * cos(nwt)

二、傅立叶变换 （非周期函数=>周期无穷大） 欧拉公式 cosθ + i*sin θ= e^iθ 当 θ= wt时，e^iθ = e^iwt，θ逐渐增大，就是逆时针变换 每时每刻代表了一种正交基的组合

方法是摘，假设里面有频率是w的sin信号，用sin去乘，就会把sin提取出来，把cos变成0

公式：F(w) = f(t) * e^(-jwt) 对t从负无穷到正无穷积分

  • 当F(T)不包含频率为w的分量时，结果为0，当包含频率为w的sin和cos函数时，结果不为0
  • 相当于摘出来了

傅立叶变换是复数，实部是频率，虚部是相位，不再是傅立叶级数图像的离散，而是连续的

傅立叶逆变换：f(t) = F(w) * e^(jwt) 对w从负无穷到正无穷积分 三、应用

1.声音，人的大脑可以进行快速傅立叶变换，从低频、高频区分男女以及噪音 通过模仿人声音的傅立叶变换，让其说任何话

  1. 图像 横坐标不是时间，是空间位置的话，就变成了图像
  • 低频表示人的轮廓
  • 高频表示人的细节

# 13. 哥德巴赫猜想

大偶数（x>=6）都可以分解成两个质数之和？(所谓的1+1) 6=3+3 8=3+5 10=3+7 12 = 5+7

有人证明了”1+3” x=a+b, x = a+bc, x = a+bcd

中国陈景润证明了”1+2”, 即去掉了1+3的最后一个

黎曼猜想 全体自然数的和是不是-1/12 ? 1/(1^s) + 1/(2^s) +1/(3^s) + ...

  1. s=1时，1+1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + ... +1/8) + ...

1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + ... 1/8) + ... = 1 + 1/2 + 1/2 + ... -> ∞ 调和级数

  1. s >1, 上述式子收敛 s = 2, 等于 π^2/6
  2. s < 1, 更收敛
  • s = -1时，1+2+3+... = -1/12
  • s = -2时，1^2 + 2^2 + 3^2 + ...= 0
  • s = -3时，1^3 + 2^3 + 3^3 + ... = 1/120

已知：x/((1-x)^2) = x + 2*x^2 + 3 * x^3 + 4 * x^4 +...

x = -1时, -1/4 = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 + ... = -(1+2+3+4+5+6+...)+(2 * 2 + 4 * 2 + 6 * 2 + ...) =3*所有自然数的和，因为后面是4*1 + 4*2 + 4*3 + ... 所以所有自然数的和是1/-12

问题在于x=-1时，左侧收敛，右侧不收敛

二、解析延拓 f(x) x∈A1小 g(x) x属于A2 大，并且在A1范围内，二者必须是相同的

  1. 处处可导(光滑) 局部解析 -> 全局解析 唯一的 1 + x + x^2 + x^3 + ... = 1/(1-x) 前提：x的绝对值小于1 当x=-1时，左边无意义，右边有意义
  2. 黎曼函数 就是除了x=-1时不成立，其他时候都成立

# 14. 老鼠试毒

有100瓶水，其中有一瓶水中有毒药。如果喝了有毒药的水，1周之后就会死亡。现在问：至少用多少只小鼠，才能在一周之后知道哪瓶水里有毒？

首先，我们把1-100的数都转化成二进制数，然后观察每一个二进制数字，它最多只有7位。把所有最右一位数是1的水瓶找出来，从中取出一些水，喂给第一只老鼠喝掉。比如第1、3、5…号瓶子就是这样，第一只老鼠要喝这些瓶子中的水。不过注意不要喝光，还要给后面的老鼠留一些。

如果一周后，这只老鼠死亡，就说明有毒药的水一定被它喝到了，这瓶毒水的编号在二进制下最右位数字一定是1；反过来，如果这只老鼠没有死亡，就说明这只老鼠没有喝到有毒药的水，有毒药的水瓶编号在二进制下最右位数字是0。

按照同样的方法，我们把编号在二进制下第二、三、四、五、六、七位数字是1的瓶子中的水给第2、3、4、5、6、7只老鼠喝掉，看它们在一周后是否死亡，来判断这瓶毒药的编号在二进制下该位数是否是1。最终，根据七只老鼠的死亡情况，就能写出毒药编号的二进制数，这就能知道哪瓶是毒药了

四维空间 四维空间，过任意一个点都有4条相互垂直的直线。 通过投影，可以将高维空间变成低维空间。想象成切一刀。

# 15. 公务员考试怪题，条件概率大贝叶斯公式

一、问题 三个盒子，分别有两个红球、两个蓝球、一红一蓝，取出一球是红球，问剩下一球也是红球的概率？

二、解法有两种，一种是1/2，一种是2/3。 1/2是错误的，没有考虑到两个红球和一红一蓝 摸出红球的概率不相等

三、条件概率

P(B|A) = P(AB) / P(A)

P(B|A)：取出一个红球的概率的情况下，另一个也是红球的概率 P{B}、P(AB) ：两个都是红球的概率，1/3. P(A)：取出一个红球的概率，1/3 + 1/3*(1/2)=1/2

所以结果是2/3

如果是100个红球、100个蓝球、1红99蓝，取出一球是红球，再取出一球也是红球概率是：(1/3) / (1/3 + (1/3)*(1/100)) = 100/101

# 16. 周长一定，为什么圆的面积最大？等周定理

三维上，表面积一定的三维体中，球的体积最大 一、古代 芝诺多罗斯

  • 正多边形面积大，比如四边形中，正四边形的面积最大
  • 正多边形边数越多面积越大，比如相同的周长，正六边形比正四边形面积大
  • 周长一定，圆形面积最大

二、近现代 1.1839年 雅克布 德国 周长一定，面积最大的图形一定有以下性质：

  • 一定外凸，否则可以做对称线，使其面积更大
  • 平分周长的弦一定也平分面积。因为如果不平分面积的话，可以把大的那一侧对称过来
  • 两端在一直线上图形半圆面积最大。如果两个弦夹角不是90度的话，可以把它掰到90度，从而使三部分面积之和最大。

# 17. 贝祖定理

方程ax+by=m(a b m都属于整数)有整数解的充要条件是m是(a, b)的倍数，(a, b)代表是a和b的最大公约数。xy就称为贝祖数

比如2x+y=3，有整数解，因为2和1的最大公约数是1，而3是1的倍数 4x+2y=5，无整数解，因为4和2的最大公约数是2，而5不是2的倍数

# 18. 抽出我“40米长大砍刀”，你有几秒逃生时间？

刀长L，重m 1.转动方程

转动方程：M=Iβ，相当于质点方程中的牛顿第二定律

力矩M，是力*力臂，M=mg * (L/2) *cosθ，力矩越大，旋转速度越快 转动惯量I，相当于质点力学里的质量，I=(1/3)mL^2，转动惯量越大，越不易转动 角加速度β = M/I = (3gcosθ)/(2L)

L越大，角加速度越大，越不容易转动。在手指上立铅笔比立粉笔容易。 走钢丝的人拿一个横杆，也是为了增大转动惯量，减小角加速度，更稳

2.能量转变来求ω 重力势能转为动能，转动过程中mgh=Iω*2/2，类似于mv^2/2。 而h=L/2(sinθ0-sinθ)，θ是刀与水平线夹角，θ0是原来与水平线的夹角，从而求出ω，随着θ减小，ω越来越大，越变越快

3.时间 需要用积分来求 t = dθ/ω对θ从θ0积到0，如果大砍刀最初与水平方向成30度角，大约需要1.78秒。

# 19. 汉诺塔

把第n-1层从A移到B；把第n层从A移到C，把第n-1层从B移到C 移动步数F(n) = 2F(n-1) +1=2^n -1 当n=1时，显然需要1步，n=2时，F(n) = 2*1+1=3，...

# 20. 什么液体能够实现“轻功水上飘”？

淀粉和水2:1混合 一、粘性系数 木板在水面上，用绳子拉木板。最上一层水流速最快，越往下水流速越小，直到减为0。v越大，阻力越大

  1. 流速梯度：v/h，单位高度流速的变化
  2. 剪应力：F/A ，单位面积上受到的力，每两层液体间都会有，只要流速不一样，就会出现剪应力，剪应力越大，表示液体流动起来越费劲
  3. 粘性系数η： F/A = η*(v/h)。表示了液体在流动过程中的阻碍作用，阻碍作用和粘性系数、流速都有关

水： η =1m•Pa•s 空气： η =0.018m•Pa•s 油： η =100m•Pa•s 蜂蜜： η =10000m•Pa•s

二、流体分类 1.牛顿流体：粘性系数η不变，流速越大，力越大，但粘性系数不变

2.非牛顿流体：η和流速有关

  1. 稠化流体（胀流）：当v/h变大时，η也变大，不是线性关系，而是类似于指数，增长的很快。 流动起来变得更加稠密一样，比如淀粉加水构成的流体、果糖。 如果用手指或勺子快速插，会插不进去。因为粘性系数变大。具体原因可能是速度变大，淀粉中的大颗粒中夹的水分子不能起到润滑作用了

  2. 稀化流体（假塑性流体）：当v/h变大时，η变小。 番茄酱、洗发水 凯伊效应：倒出来的时候，会反弹

  3. 宾汉流体（塑性） 力小的时候，表现出刚性，不动；力大的时候，才表现出流体的特点 比如牙膏、油漆

几种流体的对比： 以v/h为横坐标，F/A为纵坐标，牛顿流体的曲线是y=x，稠化流体的曲线是y=x^2，稀化流体的曲线是y=x^(1/2)，宾汉流体的曲线是y=5+x

# 21. 数学归纳法，秃子悖论

数学归纳法是一种重要的数学方法，它是指证明一个与自然数有关的命题。可以按照如下步骤: 证明n=1时命题是成立的。假设n=k时结论成立，证明n=k+1时候结论也成立。这样从n=1成立推导出n=2成立，再从n=2成立推导出n=3成立...这就像一个多米诺骨牌，一个倒下后面就都会倒下。

用数学归纳法去解释生活中的现象时，有时候会得到一些有趣的结论。 比如著名的秃子悖论: 一个人满头秀发，如果拔下一根，不会变成秃子。如果拔了k根都不是秃子，再拔一根也不会变成秃子。如此这般，这个人无论如何拔头发都不会变成。

解释： 1.量变产生质变 2.模糊数学，隶属度，从不秃到秃的过程，隶属度从0变为1。模糊集合。

# 22. 圆锥曲线

椭圆，抛物线，双曲线为啥都是圆锥曲线？为什么长期能观测到的行星都是椭圆运行的? 一、圆锥曲线 切割圆锥能够得到的曲线就是圆锥曲线。 圆是水平切，椭圆是倾斜一点切，抛物线是平行于母线切，双曲线是竖直切。

二、性质 圆：r=c；椭圆：r1+r2=C；抛物线：r=d，d是点到准线距离；双曲线：r1-r2=C

三、天体轨道 v1=7.9km/s，轨道为圆 v2>7.9km/s，轨道为椭圆 v3=11.2km/s，轨道为抛物线 v4>11.2km/s，轨道为双曲线

地球上能长期看到的都是椭圆轨道，因为做抛物线和双曲线运动的都回不来了。 启示我们要提高自己的速度，远离人渣

# 23. RSA加密算法

一、RSA加密 A要传递信息m给B，B有公钥e和私钥d。 A先将m通过e加密成c，B通过d将c 解密成m。

  1. 找出质数 p、q
  2. n=p*q
  3. φ(n)=(p-1)(q-1) 欧拉函数
  4. 公钥e，1 < e < φ(n), 整数 e、φ(n)互质（没有公因子） 私钥d e*d除以φ(n)余数为1，比如φ(n)=20，则可令e=3，d=7

加密：m^e除以n，求余数C 解密：c^d除以n，余数为m

二、安全性

传播：n e c 解密需要：n d c 而要想通过e求出d，需要知道φ(n)，要求φ(n)必须求p和q，而n=p*q，即大的质因数分解

欲证 c=m^e mod n m=c^d mod n 所以只需证明 (m^e mod n)^d mod n == m即可

易得:原式=m^(e*d) mod n 因为ed mod phi(n)=1 所以设e*d = k*phi(n)+1，k为正整数 则原式=m^(k*phi(n)+1) mod n =((m^phi(n))^k) * m mod n 根据欧拉定理:a^phi(n) mod n = 1 所以原式=(1^k) * m mod n =m mod n 证毕 同时我们还可以知道:如果m>=n，则解密后的结果不是m，而是m除n的余数

← 激光 →