拉普拉斯变换

傅立叶变换的代数式：

其中，e^-iwt是复平面上绕单位圆旋转的一个向量（点），它是一个有界量。那么上面式子要可积，至少得：

如果当x=>∞时，f(x)=>∞，比如这样：

这个f(x)的傅立叶变换就没有办法积，可以想办法把这个图像拉下来一半，这样

为了更好的适应f(x)的各种情况（比如xx增长较快，e-x就扶不住），一般会这么处理：

那么下面积分就可以积了：

令：

可以得到：

这就是拉普拉斯变换。

当然这个扩展也是付出了代价的，只能在[0, +∞)上积分，不过影响不大：

• x在应用中，一般代表时间，时间是非负的
• 可以通过双边拉普拉斯变换延展到负轴

还可以从另外一个角度来看待拉普拉斯变化。

e^-iwt对应的是等幅三角函数，而 e^sx对应的是变幅的、并且振幅越来越大的三角函数