• 1. 洛必达法则
  • 1.1. 前言
  • 1.2. 0/0型
  • 1.3. ∞/∞型
  • 1.4. 洛必达法则的扩展

1. 洛必达法则

1.1. 前言

不严格的说，洛必达法则就是在0/0型和∞/∞型时，有

对于一般我们接触的函数，比如f(x)=2x,x∈R，根据函数定义，这是一个R→R的映射

而u(x)=(g(x),f(x))是一个R→R2的映射：

割线的极限即是切线

割线的极限即是通过坐标轴的原点O(0,0)连接B点，可以把这个连线称为原点线

通过构造关键函数u(x)我们得到两个的结论：

1.2. 0/0型

我们让u(x)曲线可以经过O(0,0)点，分别做出割线和原点线，容易观察到，A点越靠近原点，割线和原点线越接近，A点和O点重合时，割线就是原点线

1.3. ∞/∞型

在欧式几何中，两条线的斜率要相等，只有两种情况，重合或者平行。这就是∞/∞型为什么适用于洛必达法则的原因。

首先u(x)要换一下，必须得有(∞,∞)点：

画出割线和原点线:

当A→∞时，割线和原点线趋向于平行。

这里比较诡异的地方是，割线和原点线一直交于A点，但是当A→∞时居然两者可以平行。其实我们可以说两条平行线交于无穷远点，至于无穷远点能否到达又是另外的问题了。

所以洛必达法则生效的原因是：

• 0/0型：割线和原点线重合
• ∞/∞型：割线和原点线平行

1.4. 洛必达法则的扩展

只要原点线和割线斜率相等，就可以运用洛必达法则