• 1. 欧拉公式
  • 1.1. 虚数
  • 1.2. 复平面上乘法的几何意义
  • 1.3. 欧拉公式与泰勒公式
  • 1.4. 欧拉公式的理解
  • 1.5. 为什么e^iθ是圆周运动？
  • 1.6. 2ⁱ的几何含义是什么？
  • 1.7. 欧拉恒等式

1. 欧拉公式

1.1. 虚数

虚数i=√−1

在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：

1.2. 复平面上乘法的几何意义

1.3. 欧拉公式与泰勒公式

欧拉公式：e^iθ = cosθ + isinθ

1.4. 欧拉公式的理解

我们可以把e^iθ看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点，cosθ+isinθ通过复平面的坐标来描述单位圆上的点，是同一个点不同的描述方式，所以有e^iθ=cosθ+isinθ。

1.5. 为什么e^iθ是圆周运动？

推广到复数域：

根据之前对复数乘法的描述，乘上(1+i/n)是进行伸缩和旋转运动，n取值不同，伸缩和旋转的幅度不同。

我们来看看eⁱ=eⁱ×1如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的：

1.6. 2ⁱ的几何含义是什么？

2ⁱ = e^iln2，即沿圆周运动ln2弧度

1.7. 欧拉恒等式

当θ=π的时候，代入欧拉公式：e^iπ=cosπ+isinπ=−1⟹e^iπ+1=0。